阿波罗尼斯圆初中数学:解一道“阿波罗尼斯圆”最值问题

2019-07-25

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文章简介：在初中数学中,有一类几何动点最值问题,学生普遍感到"害怕".它就是"阿波罗尼斯圆"问题:平面上有A,B两点,则所有满足PA/PB=k且不等于1的点P的轨迹是一个以定比m:n内分和外分定线段AB的两个分点的连线为直径的圆,这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现,故也称阿氏圆.阿波罗尼斯圆初中数学:解一道"阿波罗尼斯圆"最值问题估计读完这个概念,你就彻底崩溃啦!别怕,有我在!我来给你举例科普一下.例题:圆O的半径为3,A(0,6) ,B(8,0)

在初中数学中,有一类几何动点最值问题,学生普遍感到“害怕”。它就是“阿波罗尼斯圆”问题:平面上有A,B两点,则所有满足PA/PB=k且不等于1的点P的轨迹是一个以定比m:n内分和外分定线段AB的两个分点的连线为直径的圆,这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现,故也称阿氏圆。

估计读完这个概念,你就彻底崩溃啦!别怕,有我在!我来给你举例科普一下。

例题:圆O的半径为3,A(0,6) ,B(8,0),P是圆上一个动点,求 PB 1/2PA的最小值____

显然这个题最“讨厌”的地方就是1/2PA,我们要想办法把它转化为“一条线段”和PB建立起符合之前熟悉的动点最值模型。解决阿波罗尼斯圆问题的通法是构造相似转化问题。

连接PO,利用相似比OA:OP=2,构造OP:OC=2,从而得到相似(SAS相似模型),如图:

由OA:OP=OP:OC=2,∠AOP=∠POC,得△AOP∽△POC,继而可得1/2PA=PC,问题得以转化: PB 1/2PA=PC PB.问题做到这一步,我想大家都会做了:两个点C和B都是定点,而P是动点,PC PB的最小值就是线段BC的值(依据:两点之间线段最短)。显然C,B两个点的坐标可知:C(0,1.5),B(8,0),BC=√265/2.而P点的位置就是线段BC和圆的交点,如图: