【如何理解希尔伯特空间】数学世界的亚历山大——数学家希尔伯特
欧洲有个古老的传说:一辆著名的战车,被一根山茱萸树皮编制的绳索牢牢地捆住了。你要想取得统治世界的王位吗?那就必须解开这个绳结。无数聪明、强悍的勇士满怀希望而来,垂头丧气而去,因为绳结盘旋缠绕,绳头隐藏难寻。一天,亚历山大也慕名来到这里,他略略思索一下,便果断地抽出宝剑,一剑把绳截成两段。难解的绳结就这样轻而易举地被“解开”了。亚历山大因此享有对整个世界的统治权。
1888年9月6日,人们惊喜地获悉:十多年来许多数学家为之奋斗的著名难题——果尔丹问题,终于被一位当时尚名不见经传的青年人攻克了。他运用的方法和途径是那样的出人意料、令人折服,就像亚历山大解开绳结一样;也正如这位显赫的君主在辽阔的欧亚大陆上留下旷世战功,这位年轻人穷尽毕生心血和才华,在广阔的数学领域里纵横捭阖,遍及现代数学几乎所有的前沿阵地,在整个数学的版图上,到处都刻下他那光辉的名字。
他就是数学世界的亚历山大——大卫·希尔伯特!
哥尼斯堡是德国一座古老而美丽的城市,康德、哥德巴赫是这座城堡的荣誉和骄傲,著名的七桥问题更使之名扬欧洲。1862年1月23日,希尔伯特就诞生在这座富有学术传统的城市里。受家庭的熏陶,早在中学时代,希尔伯特对数学就表现出浓厚的兴趣,并立志把数学作为自己奋斗的专业。
1880年秋,希尔伯特进入哥尼斯堡大学。这里的学术空气浓厚而且自由,非常适宜希尔伯特的生活习性和学习要求。这段时间内,他同两位年轻的数学家的交往使他受益终生。一位是比他大3岁的胡尔维茨,在希尔伯特还是学生时,这位见多识广的青年就已是副教授;另一位是闵可夫斯基,虽比希尔伯特小两岁,但已荣获巴黎科学院大奖而名扬国际。
他们三位一体,情投意合。他们每天下午“准5点”相会于校园旁边的苹果树下,互相交流彼此的学习心得、制订计划、探索未知领域。
对于每一个重大问题,他们总是分头准备、认真思考,并各抒己见,有时也会争得面红耳赤。据说,曾有一位前来哥尼斯堡大学访问的外地学者,这天偶然经过苹果园,忽然听到里面传出几个人互不相让的争吵声,他驻足而观,发现三位年轻人比比划划,旁若无人。这位好心的人觉得有必要去劝解一下,但马上就知道自己的担心是多余的。那正是希尔伯特三人在讨论问题。
苹果树下的小路清晰地向远方延伸。他们通过日复一日的无数次散步,漫游了数学世界的每一个角落。这种数学家们特有的学习方式给他们其中的每一位带来了希望、成功和友谊。
苹果树下的散步使希尔伯特利用有趣而又容易接受的学习方式像海绵吸水那样接受数学知识,并以最简洁、快速的方法到达数学研究的前沿阵地。胡尔维茨渊博、系统的知识,闵可夫斯基快捷、灵敏的思维,无不令希尔伯特如醉如痴,也激励着他更加如饥似渴地学习、思考。这段时光为希尔伯特打下了牢固而全面的基础,他也因之能在以后的岁月里频频出击,并获得数学麦加——哥廷根大学的教授席位。
善疑好问会将学习引向深入,开放性的学习方式有利于塑造创造性的品质,相互影响、彼此促进的环境是培养人才群体的基本要素。这是“苹果树下的散步”给予的启迪。难道我们今天的教育、教学就不可以有所借鉴吗?
