【佩雷尔曼数学史地位】大象无形的数学奇人——格里戈里佩雷尔曼

2006年5月,国际数学联盟决定将数学界的最高荣誉——菲尔兹奖授予俄罗斯数学家佩雷尔曼,以表彰他在微分几何和几何拓扑领域作出的杰出贡献。为了防止被这位数学奇才“放鸽子”,联盟主席约翰·保尔甚至专程前往俄罗斯待了两天、苦口婆心的劝说佩雷尔曼接受奖项,然而一切都是白费功夫。

同年8月22日在西班牙马德里召开的第25届国际数学家大会上,佩尔雷曼缺席了西班牙国王卡洛斯一世亲临现场的颁奖仪式,也随之成为全世界瞩目的焦点。这位远离尘世、特立独行的学者,究竟是怎样一位神秘人物呢?

1966年6月13日,佩雷尔曼出生于前苏联列宁格勒市的一个犹太人家庭。父亲是一个工程师,母亲则是一所中专学校的数学教师。佩雷尔曼从小就显露出超常的数学禀赋和学者气质,在他进入小学就读以后,其数学水平已经远超他的同学。佩雷尔曼虽然从小资质过人,却如同其他学生一样,一直都按部就班的完成父母和师长布置的任务,从不刻意炫耀自己的才能。

由于优异的学业成绩,佩雷尔曼得以进入全苏著名的数学物理专业学校——列宁格勒第239中学学习。在这所强手云集的精英学校,佩雷尔曼依旧很快脱颖而出,对于数学的理解甚至超过了很多教师,给人留下了深刻印象。在此期间,佩雷尔曼曾两次成为全苏数学奥林匹克竞赛的优胜者,还在1982年代表苏联参加了在布达佩斯举行的国际中学生数学奥林匹克竞赛,并且以42分的满分成绩获得金牌。

随后不久,佩雷尔曼就接到一所美国大学的入学邀请,对方愿意为其提供丰厚的奖学金。

然而出人意料的是,面对国外大学抛来的橄榄枝,当时还不到17岁的佩雷尔曼却拒绝了对方的盛情邀请。他选择继续留在国内深造,并且被列宁格勒国立大学的数学力学系免试录取。

事实上,作为一个聪慧早熟、同时又思想单纯的孩子,佩雷尔曼拒绝出国的举动只不过是其不愿盲从、追随内心的自然结果,与“爱国”、“抗美”这样的政治标签扯不上多少关联。也许仅仅是难舍那些曾经倾力培养过自己的师长,亦或在骨子里就不信任美国人招募举动背后的动机,在出国与否这个问题上,从小就崇尚独立思考的佩雷尔曼做出了自己的选择。而这个选择,也在某种程度上预示了他今后的人生走向。

在列宁格勒大学求学期间,佩雷尔曼的学业一如既往的出类拔萃,毕业后他直接考入斯捷克洛夫数学研究所的的列宁格勒分部,开始了研究生阶段的学习。佩雷尔曼师从世界知名拓扑和几何学专家、苏联科学院亚历山德罗夫院士,获得副博士学位后继续留在研究所工作。

1991年,在几何学家格罗莫夫的热心支持下,佩雷尔曼第一次走出国门,参加了在美国杜克大学举办的国际几何学会议,并被推举为大会的7位主旨报告人之一。借助这个契机,格罗莫夫活跃于会议的各种场合,尽力将佩雷尔曼引荐给当时国际数学界的一些重量级人物,其中就有供职于纽约大学的杰夫·齐格。

几番交谈之后,齐格教授对佩雷尔曼的才华大加赞赏,并为其提供了一个在纽约大学柯朗数学研究所做博士后的机会。这一次佩雷尔曼没有拒绝,而是在第二年的秋天如期来到了纽约。

 年轻时候的佩雷尔曼

在研究所工作期间,佩雷尔曼的生活状态丝毫没有变化。如同在苏联国内时一样,他仍旧每天几乎穿着同样的衣服,很少打理自己的头发和胡子,甚至从来不剪指甲。每天的饮食只有一款正宗的俄罗斯黑面包和酸奶,除了偶尔骑自行车去森林中摘采蘑菇。

这种不食人间烟火、简约到极致的斯巴达生活方式使得佩雷尔曼成为校园里一道独特的风景,很多人甚至将他视为科学怪人而不敢靠近。1993年,佩雷尔曼取得了一项重大成就,解决了困扰数学界多年的“灵魂猜想”(Soul conjecture)。

灵魂猜想的解决使得佩雷尔曼名声大噪,更为重要的是,凭借日益积累的声誉,佩雷尔曼得以接触到一批顶尖的数学大师。在他们的影响下,佩雷尔曼充分吸收了几何与拓扑领域最前沿的思想方法,并且进一步凝练了自己的主攻方向,开始将目光瞄向了拓扑学中的头号难题――庞加莱猜想(Poincaré conjecture)。

作为一位已经得到学界认可的青年数学家,佩雷尔曼并不缺乏在国外长期发展的机遇。可是,佩雷尔曼却全然不为所动,而是在1995年突然回到了老家圣彼得堡。关于这位数学奇才为什么会突然回国,一种流行的说法是当时的一些美国名校对待佩雷尔曼的求职过于谨慎,要求其按照一般程序递交个人简历,因此惹恼了这位自命清高的天才。

除此以外,佩雷尔曼的回国决定还与当时的国际政治气候息息相关。自从1991年12月25日前苏联正式解体之后,苏联国内的很多犹太人都想方设法移民国外,尤其是以色列和美国等犹太势力强大的国家。

佩雷尔曼的父亲和妹妹也乘势加入了移民行列,陆续离开了苏联。然而,身为知识分子的母亲却甘于忍受国家动荡和清贫之苦,坚决不愿意离开俄罗斯。

应该说,这件事对佩雷尔曼的触动更大。曾经的超级强国在一瞬间变得风雨飘摇,也使得这个原本和睦保守的家庭分崩离析,在此情势下每个人都必须做出迫在眉睫的抉择。作为一个性格鲜明的学者,亦或一个在世界观和个人情感上极为倔强执着的儿子,佩雷尔曼选择了放弃国外优越的发展环境,回到了俄罗斯重新开始,并且发誓与自己的母亲永不分离。这或许应验了那句老话:科学无国界,但科学家有祖国。

回国后,佩雷尔曼重返捷克洛夫数学研究所工作了几年。研究所的同事们惊讶的发现,佩雷尔曼再也不愿意撰写任何学术论文,或是申请官方资助的各类研究项目,而是终日专注于自己的思考。事实上,甩开了名利的诱惑以及体制化的束缚,佩雷尔曼反而更加心无旁骛的投身于一项前无古人的工作——破解庞加莱猜想。

1904年,庞加莱提出了一个看似很简单的拓扑学猜想:如果一个三维流形是闭的且单连通,则它必定同胚于三维球面。此猜想一经提出,就成为拓扑学中具有重大开创意义和奠基性的问题,并且被进一步推广至三维以上的情形。

庞加莱猜想在长达半个世纪的时间里让人们几乎无从下手,直到60年代,美国数学家斯梅尔才另辟蹊径,绕过三维情形首先解决了五维以上的情形。

随后,在英国数学家唐纳森的工作基础上,弗里德曼在1983年攻克了四维庞加莱猜想。然而,让数学家们倍感头疼的是,已有的工具在面对三维情形时却仍然束手无策,数学家必须开发出更加强有力的思想方法。

若干年之后,威廉·瑟斯顿提出了一个关于所有三维流形上双曲或其它局部齐性度量存在性的更一般的猜想,即三维流形上的几何化猜想(Geometrization conjecture)。由此,如果能够证明瑟斯顿几何化猜想,那么庞加莱猜想就会成为一个显而易见的推论。

然而,在三维流形上实现瑟斯顿的想法牵涉到很多非常困难的技术手段。又过了20年,汉密尔顿提出了解决几何化猜想的总体策略:通过应用一族被称为“Ricci流”发展方程的性质及其行为,数学家可以在三维流形上构造所需要的拓扑手术,从而使不规则的流形获得平滑和对称的形状。

可是,汉密尔顿发现在对流形实施Ricci流手术的过程中,总会出现一些无法控制其走向的奇点。因此,如何发展出一套合适的系统来处理奇点问题,就成为整个过程中最为关键和困难的一步。

 佩雷尔曼破解“庞加莱猜想”

在汉密尔顿和瑟斯顿等人的成果基础上,佩雷尔曼综合了几何分析和微分方程领域中的大量工具,发展了一套统一的系统用于对流形进行预防性手术,从而可以及时发现和有效控制奇点。此外,他还从统计物理学中汲取了灵感,极其巧妙的构造了一个熵泛函公式,从而排除了最令数学家头疼的“雪茄”类奇点,使得任何三维流形在Ricci流演化操作下趋于均匀,最终获得正则化的几何结构。

从1994年到2002年,在这整整8年的时间中,佩雷尔曼几乎完全消失在主流数学界的视线之外。然而,就在人们要将他彻底遗忘时,这位曾经名震学术江湖的高人又再次出现,并且带来了庞加莱猜想已经破解的爆炸性消息。

从2002年12月开始,佩雷尔曼将关于证明梗概的3篇论文以预印本的形式,陆续发表在康奈尔大学图书馆的ArXiv共享网站上,并且给一些几何拓扑学界的权威学者发了电子邮件,请求他们对论文的正确性予以评价。

消息一经发布整个数学界便为之轰动,3组世界顶尖的数学家团队闻风而动,开启了对其证明的验核工作。他们分别是约翰·摩根(哥伦比亚大学)和田刚(普林斯顿大学)、布鲁斯·克莱勒和约翰·洛特(密西根大学)、朱熹平(中山大学)和曹怀东(里海大学)。

然而,审核工作却进行的异常艰辛,因为已经公开的3篇论文在论证结构上跳跃性极强,缺少详尽的技术细节。为了尽快澄清这些证明,田刚等人邀请佩雷尔曼前往美国举办研讨会,亲自向数学界讲解他的工作。2003年4月,佩雷尔曼来到了麻省理工学院,开始了他的系列巡回讲演。2004年5月,在确信数学界已经正确理解了他的证明之后,佩雷尔曼又回到了圣彼得堡。

在结束了漫长的审查工作之后,整个数学界因为佩雷尔曼的巨大成就而欢欣鼓舞,对于当事人的嘉奖也理所当然被列入议事日程。2006年,国际数学联盟一致通过决议,授予佩雷尔曼四年一度的菲尔兹奖章。更加令人艳羡的是,除了巨大的学术声誉,破解庞加莱猜想还会带来一笔巨额的经济资助。

2000年5月24日,由亿万富翁兰登·克莱捐资建立的克莱数学研究所专门挑选出了7个“千禧年大奖难题”,并为每个问题的解决者提供一百万美元的巨奖,其中庞加莱猜想赫然在列。

值得一提的是,根据研究所的规定,申请人必须将研究成果发表在所谓的权威期刊上,才能得到评奖委员会的正式认可。然而,佩雷尔曼却仅仅将论文挂在互联网上,让所有对庞加莱猜想有兴趣的人了解自己的工作,始终拒绝向各大数学权威期刊投稿。面对当事人拒绝配合的尴尬局面,经过一番讨论后,克莱研究所决定不受已有规则的限制,破例将“千禧年大奖”颁发给佩雷尔曼。

面对名利双收的诱人前景,佩雷尔曼表现出一种超越俗世的冷静和淡漠。他反复向周围的人强调学术界的所谓承认是无关紧要的,经过8年时间庞加莱猜想被彻底解决,这件事本身就足以说明了一切。他不需要名誉,不需要金钱,只想平平静静的过自己的生活。

其实,这并不是佩雷尔曼第一次回绝来自官方的荣誉,早在1995年,他就曾经拒受欧洲数学学会颁发的杰出青年数学家奖。然而,佩雷尔曼的诚恳表态非但没有得到公众的理解,反而为他招致了更多的纷扰。

新闻记者和好事者接踵而至,意图对他苦行僧般的私人生活一观究竟,以满足人们的好奇心和窥探欲。最终,面对记者的采访要求,佩雷尔曼干脆将自己彻底封闭了起来,拒绝会见任何人。与此同时,佩雷尔曼对待菲尔兹奖的态度也依旧毫不含糊:作为一名数学家,他不值得获得如此广泛的关注;对于以荣誉和权力为手段运作学术的做法,他也丝毫不能认同,对此他曾经直言不讳的说到:“简而言之,(拒领菲尔兹奖)主要的原因是我不同意组织化的国际数学界的决定。

我不喜欢他们的决定。我认为他们不公正。”

佩雷尔曼和母亲

自从因证明庞加莱猜想一夜爆红之后,为了躲避人们的关注,佩雷尔曼与先前所有的相识者全部断绝了联系,而他昔日的好友田刚就是“受害者”之一。田刚曾经在2004年接受过一次《科学》杂志的专访,对于宣传佩雷尔曼的功绩起了推波助澜的作用,也正是这一做法深深刺激了他的俄罗斯老友。

从此以后,佩雷尔曼不再与田刚有任何联系。田刚和摩根辛苦数年从事佩雷尔曼证明的注释工作,他们将所有的详细注解集结成书并邮寄给佩雷尔曼,然而却被原封不动的退回。

2006年之后,这位声称“我应有尽有”、颇具隐士风范的奇人终于完全消失在人们的视线中。有人说佩雷尔曼和母亲居住在圣彼得堡郊外一处秘密的屋子里,拒绝与任何人来往;也有人说他申请了国外的工作签证,带着母亲跑到了其它国家。总之,这位远离尘嚣的数学家就如同人间蒸发了一般,从此杳无踪迹,在人类的“流形”上彻底隐没了。

英国数学家哈代曾经说过,他之所以选择成为一名数学家,是因为数学是一门无害而清白的学问。事实也的确如此,只有纯净的内心,才能发现真正的自己。从古至今,凡是那些位居人类知识顶峰、徒手摘星的伟大学者,无一不拥有一颗安于平淡、纯粹澄明的灵魂。

可是,徜徉数学若干年之后,佩雷尔曼却失望的发现,不仅仅是数学,在当今整个学术界,知识、利益、政治……所有这些元素都以某种体制化的方式盘根错节的纠缠在一起,以至于将每个知识从业者无可避免的裹挟其中。

一位法国数学家对于佩雷尔曼的行为深表认同,并且激烈抨击了当前学术界日益严重的世俗和功利化风气:“数学机构现在印发筹资的小册子,厚颜无耻地申请对数学事业毫无帮助的资金。教授们恬不知耻地进行薪水谈判,有时甚至根据所获得的报酬来制定研究计划。

他们对这门科学的热爱到哪里去了?他们那种为了数学的共同事业甘愿牺牲物质享受的精神到哪去了?”诚如默顿所言,“普遍主义”、“公有性”、“无私利性”以及“有组织的批判精神”,这些规范理应成为学术界的最高道德指南。

可是,学者亦非圣贤,人在江湖,又岂能独善其身。作为一种实践人生价值的手段,数学曾使佩雷尔曼达到个人成就的巅峰,而一旦其成为获取名望和利益的工具,就再也不能满足他渊深的心理和精神追求了。因此,佩雷尔曼不惜放弃唾手可及的一切,不恋荣华,功成身退。

“只要我还不出名,我就有得选择……现在,当我成为一个公众人物后,我不愿意像一个宠物那样成为人们关注的焦点,同时又无法口吐真言,所以我只能退出。”由此而观之,对于像佩雷尔曼这样禀赋卓绝、自我意识丰富而淡泊的生命而言,是注定不会驾循一道按部就班的轨迹滑行到终点的。

作为一个特立独行、绝不随波逐流的智者,佩雷尔曼终其一生所追求的正是思想与心灵上的自由,除此以外,一切层面上的荣誉、财富、地位……都毫无意义。

佩雷尔曼的故事已经结束了,斯人已去,空余叹息:一个人活在世上,究竟应该留下怎样的足迹?是追逐功名利禄,还是自我价值的实现,亦或享受一种生活中的宁静和满足?对于此,每个人都会做出不同的选择。佩雷尔曼的人生之所以会触动我们,或许是因为每个人的内心深处,都向往着一种既辉煌又平凡的生活,可是,却没有多少人拥有足够的才华和勇气去追寻它。

然而,佩雷尔曼做到了,其绚烂至极、复回平淡的精彩人生足以给我们留下久远的思考。